Excel 3

3.Допълнения:

 

3.1. Метод на итерациите за решаване на уравнения (алгебрични и трансцедентни)

            За намиране на решение по този метод е необходимо да реализираме следните стъпки:

            1.Разглежданото уравнение се представя във вида x=φ(x)

            2.Избира се нулевото приближение на решението x₀и се намира първото по формулата x₁=φ(x₀)

            3.Намирането на поредното приближение  x_n=φ(x_n-1) се повтаря до достигане на желаната точност.

            Процесът е сходящ, ако между корена xи нулевото приближение x₀ производната |φ’(x)|< 1. Ако условието не е изпълнено, уравнението трябва да се преработи.  (Напр., ако x=tg(x) , не изпълнява условието, опитваме с x=arctg(x).) При φ’(x)< 0 две последователни приближения на корена ще са съответно по-голямо и по-малко от него, което позволява да се прецени достигнатата точност.

            Реализация на Excel:

            От меню: Tools -> Options->Calculations  поставяме X пред Iterationза разрешаване на зациклянетои задаваме предполагаемия достатъчен максимален брой итерации и достатъчната разлика между последователните приближения.

            Нека уравнението е  x=cos(x).

Записваме в една клетка (напр. А1) нулевото приближение (0.5).

Записваме в друга (напр. B1),  в която ще получим решението,формулата на функцията (=cos(A1)). След натискане на ‘Enter’ Excel изчислява първото приближение.

Връщаме се в първата клетка (А1) и записваме формулата осигуряваща зациклянето ‘=B1’.

 

3.2. Груба оценка на решението, подходяща за нулевото приближение, може да бъде намерена по графичния метод. Представяме уравнението f(x)=0във вида φ₁(x)= φ₂(x). Табулираме и изчертаваме функциите y= φ₁(x) иy= φ₂(x).Приблизителния корен намираме по пресечната точка на графиките.

 

3.3. Пресмятане на суми:

            Функцията seriessum(x,n,m,a) връща сумата на степенния ред (полинома)

            a₁xⁿ + a₂x^n+m + a₃x^n+2m +…+ a_ix^n+(i-1)m    .

            Пример:

1.Нека да изчислим стойността на полинома (куршум изстрелян вертикално нагоре от височина x₀ с начална скоростv₀)

x=(1/2)at² + v₀t +x_{0 ,}

където x₀=50,  v₀=300, а=-10  за  стойности на t  0.01,1,2,…70.

Можем да заместим с n=2 (най-високата степен) и m=-1 (декремента на степента).

Масивът може да бъде зададен или като константа или като диапазон.

… =seriessum(A2;2;-1;{-5,300,50})

 

            2.Оценете сумата на безкрайния числен ред:

            1+1/2+1/4+1/8+…+1/2ⁿ+…

(Намерете сумата на първите 25 члена … /точната стойност е 2/ )

            Постройте колонки със стойностите на членовете и временните суми.

            3.Оценете сумата на числения ред 1-1/2⁴+1/3⁴-1/4⁴+…  = 7π/720

            4.Оценете сумата на функционалния ред 1+x/1!+x²/2!+x³/3!+ …+xn/n!+… за x=2. (Сумата на реда е e^x).

           

            Упражнения:

1.x = cos(x) ( φ’(x) = sin(x) < 1,т.е. имаме сходимост).

            резултат: 0.7391

2. x=sqrt(x+5), резултат x=2.701183

3. x=2^1/x  ,  нач. приближение x=1, резултат x=1.55937

4. sqrt(x+7) +1 = 2x

 

Решаване на трансцедентни уравнения аналогично на графичния метод/ с визуален контрол/.

            пример:          sin(x) = cos(x) за  0 < x < π/2

 

            1. за неголям брой (~100) стойности пресмятаме:

            0   |   =sin(x)   |   =cos(x)   | if(разл. между предните две колонки < ε; „решение”;” „)

            2. сега търсим около решението аналогично на т.1.